Câu hỏi 54
Với số nguyên dương $k$, đặt
$$
R_n = \{-k, -(k-1), \dots, -1, 1, \dots, k-1, k\} \text{ với } n = 2k \text{ và}
$$
$$
R_n = \{-k, -(k-1), \dots, -1, 0, 1, \dots, k-1, k\} \text{ với } n = 2k+1.
$$
Một thiết bị gồm một số quả bóng và các sợi dây màu đỏ hoặc trắng nối một số cặp bóng. Một *cách gán nhãn* là việc tô mỗi quả bóng bởi một phần tử của $R_n$. Ta nói một cách gán nhãn là *tốt* nếu màu của hai quả bóng bất kì được nối với nhau là khác nhau. Ta nói một cách gán nhãn là *nhạy* nếu màu của hai quả bóng bất kì được nối bằng dây trắng là khác nhau và tổng màu của hai quả bóng bất kì được nối bằng dây đỏ khác $0$.
Cố định $n \ge 3$. Giả sử mọi thiết bị có một cách gán nhãn tốt bởi $R_n$ thì cũng có một cách gán nhãn nhạy bởi $R_m$. Tìm giá trị nhỏ nhất có thể của $m = m(n)$.
$$
R_n = \{-k, -(k-1), \dots, -1, 1, \dots, k-1, k\} \text{ với } n = 2k \text{ và}
$$
$$
R_n = \{-k, -(k-1), \dots, -1, 0, 1, \dots, k-1, k\} \text{ với } n = 2k+1.
$$
Một thiết bị gồm một số quả bóng và các sợi dây màu đỏ hoặc trắng nối một số cặp bóng. Một *cách gán nhãn* là việc tô mỗi quả bóng bởi một phần tử của $R_n$. Ta nói một cách gán nhãn là *tốt* nếu màu của hai quả bóng bất kì được nối với nhau là khác nhau. Ta nói một cách gán nhãn là *nhạy* nếu màu của hai quả bóng bất kì được nối bằng dây trắng là khác nhau và tổng màu của hai quả bóng bất kì được nối bằng dây đỏ khác $0$.
Cố định $n \ge 3$. Giả sử mọi thiết bị có một cách gán nhãn tốt bởi $R_n$ thì cũng có một cách gán nhãn nhạy bởi $R_m$. Tìm giá trị nhỏ nhất có thể của $m = m(n)$.