Câu hỏi 23
Thấy Lão Triệu đi nghĩa vụ quân sự buồn chán quá, tiểu đội trưởng sai anh ấy đi xếp bánh bao. Có $n$ màu bánh bao khác nhau, bánh màu thứ $i$ có $a_i$ cái, tổng cộng có $S = a_1 + a_2 + \cdots + a_n$ cái. $S$ cái bánh bao này đôi một phân biệt. Bây giờ Lão Triệu có thể quyết định cách xếp $S$ cái bánh bao này thành một hàng. Với mỗi cách xếp, tiểu đội trưởng chấm điểm cho Lão Triệu như sau:
(i) Trước hết, với mỗi $i \in \{1, 2, \cdots, n\}$, đếm số lần các bánh màu thứ $i$ đứng cạnh nhau, tức là
$$
c_i = \#\{j: 1 \le j \le S-1, \text{ cái bánh thứ } j \text{ và thứ } j+1 \text{ tính từ trái đều có màu } i\}
$$
(ii) Điểm của Lão Triệu được định nghĩa là $c_1 \times c_2 \times \cdots \times c_n$.
Nếu $S$ là hợp số, chứng minh rằng tổng số điểm của tất cả các cách xếp là bội của $S$.
(i) Trước hết, với mỗi $i \in \{1, 2, \cdots, n\}$, đếm số lần các bánh màu thứ $i$ đứng cạnh nhau, tức là
$$
c_i = \#\{j: 1 \le j \le S-1, \text{ cái bánh thứ } j \text{ và thứ } j+1 \text{ tính từ trái đều có màu } i\}
$$
(ii) Điểm của Lão Triệu được định nghĩa là $c_1 \times c_2 \times \cdots \times c_n$.
Nếu $S$ là hợp số, chứng minh rằng tổng số điểm của tất cả các cách xếp là bội của $S$.