Câu hỏi 173
Cho $(a, b)$ là một cặp số nguyên dương. Henning và Paul chơi một trò chơi: Ban đầu, trên bàn có hai đống sỏi lần lượt gồm $a$ và $b$ viên. Cặp $(a, b)$ được gọi là cấu hình ban đầu của trò chơi. Hai người chơi theo luật sau:
- Hai người chơi luân phiên và Henning đi trước.
- Ở mỗi lượt, người chơi hoặc lấy đi một số dương viên sỏi từ một trong hai đống, hoặc lấy đi cùng một số dương viên sỏi từ cả hai đống.
- Người lấy viên sỏi cuối cùng trên bàn thắng cuộc.
Gọi $A$ là tập hợp tất cả các số nguyên dương $a$ sao cho tồn tại số nguyên dương $b\lt a$ để Paul có chiến lược thắng với cấu hình ban đầu $(a, b)$. Sắp xếp các phần tử của $A$ theo thứ tự tăng dần $a_{1}\lt a_{2}\lt \ldots$
a. Chứng minh rằng tập $A$ là vô hạn.
b. Chứng minh rằng dãy $\left(m_{k}\right)_{k \geq 1}$ xác định bởi $m_{k}:=a_{k+1}-a_{k}$ với mọi $k \geq 1$ không tuần hoàn kể từ một lúc nào đó.
Chú ý: Một dãy $\left(x_{k}\right)_{k \geq 1}$ được gọi là tuần hoàn kể từ một lúc nào đó nếu tồn tại số nguyên $k_{0} \geq 0$ sao cho dãy $\left(x_{k+k_{0}}\right)_{k \geq 1}$ tuần hoàn.
- Hai người chơi luân phiên và Henning đi trước.
- Ở mỗi lượt, người chơi hoặc lấy đi một số dương viên sỏi từ một trong hai đống, hoặc lấy đi cùng một số dương viên sỏi từ cả hai đống.
- Người lấy viên sỏi cuối cùng trên bàn thắng cuộc.
Gọi $A$ là tập hợp tất cả các số nguyên dương $a$ sao cho tồn tại số nguyên dương $b\lt a$ để Paul có chiến lược thắng với cấu hình ban đầu $(a, b)$. Sắp xếp các phần tử của $A$ theo thứ tự tăng dần $a_{1}\lt a_{2}\lt \ldots$
a. Chứng minh rằng tập $A$ là vô hạn.
b. Chứng minh rằng dãy $\left(m_{k}\right)_{k \geq 1}$ xác định bởi $m_{k}:=a_{k+1}-a_{k}$ với mọi $k \geq 1$ không tuần hoàn kể từ một lúc nào đó.
Chú ý: Một dãy $\left(x_{k}\right)_{k \geq 1}$ được gọi là tuần hoàn kể từ một lúc nào đó nếu tồn tại số nguyên $k_{0} \geq 0$ sao cho dãy $\left(x_{k+k_{0}}\right)_{k \geq 1}$ tuần hoàn.