Câu hỏi 91
Cho $\triangle ABC$. Gọi $A_{1}$ là ảnh của giao điểm giữa đường phân giác $\measuredangle BAC$ và cạnh $BC$ qua phép đối xứng tâm, với tâm đối xứng là trung điểm của cạnh $BC$. Các điểm $B_{1}$ (trên cạnh $CA$) và $C_{1}$ (trên cạnh $AB$) được định nghĩa tương tự. Giao của đường tròn ngoại tiếp $\triangle A_{1}B_{1}C_{1}$ với đường thẳng $AB$ là tập $\{Z, C_{1}\}$, với đường thẳng $BC$ là tập $\{X, A_{1}\}$, và với đường thẳng $CA$ là tập $\{Y, B_{1}\}$. Nếu các đường vuông góc kẻ từ các điểm $X, Y$ và $Z$ lần lượt xuống $BC, CA$ và $AB$ cắt nhau tại một điểm, chứng minh rằng $\triangle ABC$ cân.