Câu hỏi 137
Cho tam giác $ABC$. Cho $M$ là một điểm thay đổi nằm trong đoạn $AB$, và $\gamma_B$ là đường tròn đi qua $M$ và tiếp xúc với $BC$ tại $B$. Gọi $P$ và $Q$ là các tiếp điểm của $\gamma_B$ với các tiếp tuyến kẻ từ $A$ tới nó, và gọi $X$ là trung điểm của đoạn $PQ$. Tương tự, cho $N$ là một điểm thay đổi nằm trong đoạn $AC$, và $\gamma_C$ là đường tròn đi qua $N$ và tiếp xúc với $BC$ tại $C$. Gọi $R$ và $S$ là các tiếp điểm của $\gamma_C$ với các tiếp tuyến kẻ từ $A$ tới nó, và gọi $Y$ là trung điểm của đoạn $RS$. Chứng minh rằng đường thẳng đi qua tâm các đường tròn $AMN$ và $AXY$ luôn đi qua một điểm cố định.