Câu hỏi 111
Cho $A_1, A_2, \dots, A_m$ là các ma trận vuông cấp $n$ với phần tử thực, trong đó $m, n \in \mathbb{N}^*$, và $b_1, b_2, \dots, b_m$ là các số thực. Xét tập hợp
$$
\mathcal{B} = \{B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R}) \mid \operatorname{tr}(BA_i^T) = b_i, \forall i = \overline{1, m}\}.
$$
Giả sử ma trận $C = (c_{ij})_{i,j=\overline{1,m}} \in \mathcal{M}_m(\mathbb{R})$, $c_{ij} = \operatorname{tr}(A_i A_j^T)$ có $\det(C) \ne 0$. Chứng minh rằng tồn tại duy nhất ma trận $X \in \mathcal{B}$ sao cho
$$
\operatorname{tr}(XX^T) \le \operatorname{tr}(YY^T), \forall Y \in \mathcal{B}.
$$
$$
\mathcal{B} = \{B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R}) \mid \operatorname{tr}(BA_i^T) = b_i, \forall i = \overline{1, m}\}.
$$
Giả sử ma trận $C = (c_{ij})_{i,j=\overline{1,m}} \in \mathcal{M}_m(\mathbb{R})$, $c_{ij} = \operatorname{tr}(A_i A_j^T)$ có $\det(C) \ne 0$. Chứng minh rằng tồn tại duy nhất ma trận $X \in \mathcal{B}$ sao cho
$$
\operatorname{tr}(XX^T) \le \operatorname{tr}(YY^T), \forall Y \in \mathcal{B}.
$$