Câu hỏi 97
Ta xét các dãy $a_1, a_2, \dots, a_n$ gồm $n$ số nguyên. Với $k \le n$ cho trước, ta có thể chia các số của dãy thành $k$ nhóm như sau: $a_1$ vào nhóm thứ nhất, $a_2$ vào nhóm thứ hai, và cứ thế cho đến $a_k$ vào nhóm thứ $k$. Sau đó $a_{k+1}$ lại vào nhóm thứ nhất, $a_{k+2}$ vào nhóm thứ hai, và cứ tiếp tục như vậy. Dãy được gọi là $k$-hợp nếu cách chia này có tính chất là tổng các số trong $k$ nhóm đều bằng nhau.
Chẳng hạn, dãy $1, 2, 3, 4, -2, 6, 13, 12, 17, 8$ là 4-hợp vì
$$
1 + (-2) + 17 = 2 + 6 + 8 = 3 + 13 = 4 + 12.
$$
Tuy nhiên, dãy này không là 3-hợp, vì các tổng $1 + 4 + 13 + 8$, $2 + (-2) + 12$ và $3 + 6 + 17$ không bằng nhau.
a. Hãy đưa ra một dãy gồm 6 số nguyên *phân biệt* vừa là 2-hợp vừa là 3-hợp.
b. Hãy đưa ra một dãy gồm 7 số nguyên *phân biệt* là 2-hợp, 3-hợp và 4-hợp.
c. Tìm $k \le 99$ lớn nhất sao cho tồn tại một dãy gồm 99 số nguyên *phân biệt* là $k$-hợp. (Hãy đưa ra một ví dụ về dãy như vậy và chứng minh rằng không tồn tại dãy như vậy với các giá trị $k$ lớn hơn.)
Chẳng hạn, dãy $1, 2, 3, 4, -2, 6, 13, 12, 17, 8$ là 4-hợp vì
$$
1 + (-2) + 17 = 2 + 6 + 8 = 3 + 13 = 4 + 12.
$$
Tuy nhiên, dãy này không là 3-hợp, vì các tổng $1 + 4 + 13 + 8$, $2 + (-2) + 12$ và $3 + 6 + 17$ không bằng nhau.
a. Hãy đưa ra một dãy gồm 6 số nguyên *phân biệt* vừa là 2-hợp vừa là 3-hợp.
b. Hãy đưa ra một dãy gồm 7 số nguyên *phân biệt* là 2-hợp, 3-hợp và 4-hợp.
c. Tìm $k \le 99$ lớn nhất sao cho tồn tại một dãy gồm 99 số nguyên *phân biệt* là $k$-hợp. (Hãy đưa ra một ví dụ về dãy như vậy và chứng minh rằng không tồn tại dãy như vậy với các giá trị $k$ lớn hơn.)