Câu hỏi 162
Ta nói một số nguyên dương có số chữ số chẵn là "đúng" nếu khi đọc to từng chữ số của nó, ta thu được một mô tả đúng về chính số đó. Chính xác hơn, nếu mỗi chữ số ở vị trí lẻ cho biết chữ số đứng ngay sau nó xuất hiện bao nhiêu lần trong toàn bộ số.
Ví dụ, $1210$ là số đúng vì nó có "một chữ số $2$, một chữ số $0$", $2121$ cũng vậy vì nó có "hai chữ số $1$, hai chữ số $1$", còn $1031$ thì không, vì nó tuyên bố có "một chữ số $0$, ba chữ số $1$", trong khi thực tế nó có hai chữ số $1$.
a. Chứng minh rằng có nhiều hơn $2019$ số đúng.
b. Chứng minh rằng chỉ có hữu hạn số nguyên đúng.
c. Tìm số chữ số của số đúng lớn nhất.
Ví dụ, $1210$ là số đúng vì nó có "một chữ số $2$, một chữ số $0$", $2121$ cũng vậy vì nó có "hai chữ số $1$, hai chữ số $1$", còn $1031$ thì không, vì nó tuyên bố có "một chữ số $0$, ba chữ số $1$", trong khi thực tế nó có hai chữ số $1$.
a. Chứng minh rằng có nhiều hơn $2019$ số đúng.
b. Chứng minh rằng chỉ có hữu hạn số nguyên đúng.
c. Tìm số chữ số của số đúng lớn nhất.