Câu hỏi 72
Gọi $\mathbb{Z}$ là tập các số nguyên. Ta xét các hàm số $f: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}$ thỏa mãn
$$
f(f(x+y)+y)=f(f(x)+y)
$$
với mọi số nguyên $x$ và $y$. Với hàm số như vậy, ta nói số nguyên $v$ là $f$-hiếm nếu tập
$$
X_{v}=\{x \in \mathbb{Z}: f(x)=v\}
$$
hữu hạn và khác rỗng.
a. Chứng minh rằng tồn tại hàm số $f$ như vậy có một số nguyên $f$-hiếm.
b. Chứng minh rằng không có hàm số $f$ nào như vậy có nhiều hơn một số nguyên $f$-hiếm.
$$
f(f(x+y)+y)=f(f(x)+y)
$$
với mọi số nguyên $x$ và $y$. Với hàm số như vậy, ta nói số nguyên $v$ là $f$-hiếm nếu tập
$$
X_{v}=\{x \in \mathbb{Z}: f(x)=v\}
$$
hữu hạn và khác rỗng.
a. Chứng minh rằng tồn tại hàm số $f$ như vậy có một số nguyên $f$-hiếm.
b. Chứng minh rằng không có hàm số $f$ nào như vậy có nhiều hơn một số nguyên $f$-hiếm.