Câu hỏi 40
Cho $v \gt 1$ là một số nguyên dương. Mỗi ô của một bảng $v \times v$ chứa một số nguyên. Giả sử các điều kiện sau được thỏa mãn:
a. Mỗi số trong bảng đồng dư với $1$ theo modulo $v$.
b. Tổng các số trên mỗi hàng, cũng như tổng các số trên mỗi cột, đồng dư với $v$ theo modulo $v^2$.
Gọi $\Gamma_i$ là tích các số trên hàng thứ $i$, và $\Sigma_j$ là tích các số trên cột thứ $j$. Chứng minh rằng các tổng $\Gamma_1 + \Gamma_2 + \dots + \Gamma_v$ và $\Sigma_1 + \Sigma_2 + \dots + \Sigma_v$ đồng dư với nhau theo modulo $v^4$. (IMO 2018 shortlist)
a. Mỗi số trong bảng đồng dư với $1$ theo modulo $v$.
b. Tổng các số trên mỗi hàng, cũng như tổng các số trên mỗi cột, đồng dư với $v$ theo modulo $v^2$.
Gọi $\Gamma_i$ là tích các số trên hàng thứ $i$, và $\Sigma_j$ là tích các số trên cột thứ $j$. Chứng minh rằng các tổng $\Gamma_1 + \Gamma_2 + \dots + \Gamma_v$ và $\Sigma_1 + \Sigma_2 + \dots + \Sigma_v$ đồng dư với nhau theo modulo $v^4$. (IMO 2018 shortlist)