Câu hỏi 166
Cho $S=\{1, \ldots, n\}$, với $n \geqslant 3$ là một số nguyên, và cho $k$ là một số nguyên dương. Kí hiệu $S^{k}$ là tập các bộ $k$ phần tử của $S$. Cho hàm $f: S^{k} \rightarrow S$ sao cho nếu $x=\left(x_{1}, \ldots, x_{k}\right) \in S^{k}$ và $y=\left(y_{1}, \ldots, y_{k}\right) \in S^{k}$ với $x_{i} \neq y_{i}$ với mọi $1 \leqslant i \leqslant k$, thì $f(x) \neq f(y)$.
Chứng minh rằng tồn tại $\ell$ với $1 \leqslant \ell \leqslant k$ và một hàm $g: S \rightarrow S$ thỏa mãn $f\left(x_{1}, \ldots, x_{k}\right)=g\left(x_{\ell}\right)$ với mọi $x_{1}, \ldots, x_{k} \in S$.
Chứng minh rằng tồn tại $\ell$ với $1 \leqslant \ell \leqslant k$ và một hàm $g: S \rightarrow S$ thỏa mãn $f\left(x_{1}, \ldots, x_{k}\right)=g\left(x_{\ell}\right)$ với mọi $x_{1}, \ldots, x_{k} \in S$.