Câu hỏi 63
a) Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương $a$, $a\gt 1$, phương trình
$$
\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{a}
$$
có ít nhất ba nghiệm dạng $(x, y)$ với $x$ và $y$ là các số nguyên dương. Ví dụ, với $a=3$, các cặp $(6,6),(4,12)$ và $(12,4)$ là nghiệm.
b) Tìm số cặp số nguyên dương $(x, y)$ là nghiệm của phương trình này khi $a=2019$.
Gợi ý: Nếu phân tích ra thừa số nguyên tố của số nguyên dương $n$ là $p_{1}^{\alpha_{1}} \cdot p_{2}^{\alpha_{2}} \cdot \ldots \cdot p_{k}^{\alpha_{k}}$ thì nó có $\left(\alpha_{1}+1\right)\left(\alpha_{2}+1\right) \ldots\left(\alpha_{k}+1\right)$ ước dương.
$$
\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{a}
$$
có ít nhất ba nghiệm dạng $(x, y)$ với $x$ và $y$ là các số nguyên dương. Ví dụ, với $a=3$, các cặp $(6,6),(4,12)$ và $(12,4)$ là nghiệm.
b) Tìm số cặp số nguyên dương $(x, y)$ là nghiệm của phương trình này khi $a=2019$.
Gợi ý: Nếu phân tích ra thừa số nguyên tố của số nguyên dương $n$ là $p_{1}^{\alpha_{1}} \cdot p_{2}^{\alpha_{2}} \cdot \ldots \cdot p_{k}^{\alpha_{k}}$ thì nó có $\left(\alpha_{1}+1\right)\left(\alpha_{2}+1\right) \ldots\left(\alpha_{k}+1\right)$ ước dương.