Câu hỏi 117
Gọi $S$ là tập các số nguyên lớn hơn hoặc bằng 2. Hàm $f:S\to S$ được gọi là nguyên sơ nếu thỏa mãn:
- Toàn ánh: với mọi $s\in S$, tồn tại ít nhất một $n\in S$ sao cho $f(n)=s$.
- Tăng trên các số nguyên tố: nếu $p_1\lt p_2$ là các số nguyên tố thì $f(p_1)\lt f(p_2)$.
- Với mọi $n\in S$, $f(n)$ là tích của $f(p)$ khi $p$ chạy qua các ước nguyên tố phân biệt của $n$; chẳng hạn $f(360)=f(2^3\cdot3^2\cdot5)=f(2)f(3)f(5)$.
Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất có thể của $f(2020)$ khi $f$ chạy qua mọi hàm nguyên sơ.
- Toàn ánh: với mọi $s\in S$, tồn tại ít nhất một $n\in S$ sao cho $f(n)=s$.
- Tăng trên các số nguyên tố: nếu $p_1\lt p_2$ là các số nguyên tố thì $f(p_1)\lt f(p_2)$.
- Với mọi $n\in S$, $f(n)$ là tích của $f(p)$ khi $p$ chạy qua các ước nguyên tố phân biệt của $n$; chẳng hạn $f(360)=f(2^3\cdot3^2\cdot5)=f(2)f(3)f(5)$.
Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất có thể của $f(2020)$ khi $f$ chạy qua mọi hàm nguyên sơ.