Câu hỏi 113
Cho số nguyên dương $N$ và hai dãy số nguyên không âm $\mathbf a=(a(1),\ldots,a(N))$, $\mathbf b=(b(1),\ldots,b(N))$, mỗi dãy được viết trên một đường tròn (quy ước $a(i\pm N)=a(i)$ và $b(i\pm N)=b(i)$). Ta nói $\mathbf a$ là **điều hòa theo $\mathbf b$** nếu mỗi $a(i)$ bằng trung bình cộng của $b(i)$ số gần nhất ngược chiều kim đồng hồ, $b(i)$ số gần nhất theo chiều kim đồng hồ, và chính $a(i)$; tức là
$$a(i)=\frac1{2b(i)+1}\sum_{s=-b(i)}^{b(i)}a(i+s).\quad(*)$$
(Một số hạng của $\mathbf a$ có thể xuất hiện nhiều lần trong tổng trên.) Giả sử cả $\mathbf a$ lẫn $\mathbf b$ đều không hằng, $\mathbf a$ điều hòa theo $\mathbf b$ và $\mathbf b$ điều hòa theo $\mathbf a$. Chứng minh rằng hơn một nửa trong tổng số $2N$ số hạng của hai dãy bằng không.
$$a(i)=\frac1{2b(i)+1}\sum_{s=-b(i)}^{b(i)}a(i+s).\quad(*)$$
(Một số hạng của $\mathbf a$ có thể xuất hiện nhiều lần trong tổng trên.) Giả sử cả $\mathbf a$ lẫn $\mathbf b$ đều không hằng, $\mathbf a$ điều hòa theo $\mathbf b$ và $\mathbf b$ điều hòa theo $\mathbf a$. Chứng minh rằng hơn một nửa trong tổng số $2N$ số hạng của hai dãy bằng không.