Câu hỏi 79
2020 số
$$
1 \cdot 2, 2 \cdot 3, 3 \cdot 4, \ldots, 2020 \cdot 2021
$$
được viết trên bảng. Mỗi bước chọn ba số $a,b,c$ trên bảng, xóa chúng và viết số
$$
\frac{a b c}{a b + b c + a c}
$$
a) Chứng minh rằng
$$
\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = \left(\frac{a b c}{a b + b c + a c}\right)^{-1}
$$
b) Dùng
$$
\frac{1}{k(k+1)} = \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}
$$
hãy tính tổng
$$
\frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 4} + \ldots + \frac{1}{2020 \cdot 2021}
$$
c) Sau 1009 bước, còn lại hai số trên bảng. Chứng minh rằng nếu một số là $4/3$ thì số kia lớn hơn $4$.
$$
1 \cdot 2, 2 \cdot 3, 3 \cdot 4, \ldots, 2020 \cdot 2021
$$
được viết trên bảng. Mỗi bước chọn ba số $a,b,c$ trên bảng, xóa chúng và viết số
$$
\frac{a b c}{a b + b c + a c}
$$
a) Chứng minh rằng
$$
\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = \left(\frac{a b c}{a b + b c + a c}\right)^{-1}
$$
b) Dùng
$$
\frac{1}{k(k+1)} = \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}
$$
hãy tính tổng
$$
\frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 4} + \ldots + \frac{1}{2020 \cdot 2021}
$$
c) Sau 1009 bước, còn lại hai số trên bảng. Chứng minh rằng nếu một số là $4/3$ thì số kia lớn hơn $4$.