Câu hỏi 39
Có $N$ hộp rỗng xếp thành hàng và nguồn sỏi không hạn chế. Cho số nguyên dương $n$, Alice và Bob chơi như sau. Ở lượt đầu, Alice phân bố $n$ viên sỏi vào $N$ hộp tùy ý. Mỗi lượt tiếp theo gồm:
(i) Bob chọn $1\le k\lt N$ và chia các hộp thành $B_1,\ldots,B_k$ và $B_{k+1},\ldots,B_N$.
(ii) Alice chọn một nhóm, thêm một viên vào mỗi hộp của nhóm đó và lấy đi một viên ở mỗi hộp nhóm kia.
Bob thắng nếu cuối một lượt có hộp rỗng. Đặt $M=\lfloor N/2+1\rfloor^2-1$, trong đó $\lfloor x\rfloor$ là số nguyên lớn nhất không vượt quá $x$.
(a) Chứng minh với mọi $n\ge M$, Alice có chiến thuật để Bob không bao giờ thắng.
(b) Chứng minh với mọi $n\lt M$, Bob có chiến thuật bảo đảm thắng.
(i) Bob chọn $1\le k\lt N$ và chia các hộp thành $B_1,\ldots,B_k$ và $B_{k+1},\ldots,B_N$.
(ii) Alice chọn một nhóm, thêm một viên vào mỗi hộp của nhóm đó và lấy đi một viên ở mỗi hộp nhóm kia.
Bob thắng nếu cuối một lượt có hộp rỗng. Đặt $M=\lfloor N/2+1\rfloor^2-1$, trong đó $\lfloor x\rfloor$ là số nguyên lớn nhất không vượt quá $x$.
(a) Chứng minh với mọi $n\ge M$, Alice có chiến thuật để Bob không bao giờ thắng.
(b) Chứng minh với mọi $n\lt M$, Bob có chiến thuật bảo đảm thắng.