Câu hỏi 149
Cho $\mathbb N$ là tập các số nguyên dương. Đặt
$$A=\{2^a+a^2\mid a\in\mathbb N\}$$
và, với mỗi $i\in\mathbb N$,
$$h_1(n)=n+\log_2n;\qquad h_{i+1}(n)=n+\log_2h_i(n)\quad(n\in\mathbb N).$$
Chứng minh tồn tại hàm đơn ánh $g:\mathbb R^+\to\mathbb R^+$ sao cho:
(a) Với mọi $i,n\in\mathbb N$, ta có $n+\lfloor g(h_i(n))\rfloor\notin A$.
(b) Với mỗi $k\in\mathbb N\setminus A$ và $i\in\mathbb N$, tồn tại duy nhất $a_{k,i}\in\mathbb N$ thỏa mãn
$$a_{k,i}+\lfloor g(h_i(a_{k,i}))\rfloor=k,\qquad\forall i\in\mathbb N.$$
Ở đây $\lfloor x\rfloor$ là số nguyên lớn nhất không vượt quá số thực $x$.
$$A=\{2^a+a^2\mid a\in\mathbb N\}$$
và, với mỗi $i\in\mathbb N$,
$$h_1(n)=n+\log_2n;\qquad h_{i+1}(n)=n+\log_2h_i(n)\quad(n\in\mathbb N).$$
Chứng minh tồn tại hàm đơn ánh $g:\mathbb R^+\to\mathbb R^+$ sao cho:
(a) Với mọi $i,n\in\mathbb N$, ta có $n+\lfloor g(h_i(n))\rfloor\notin A$.
(b) Với mỗi $k\in\mathbb N\setminus A$ và $i\in\mathbb N$, tồn tại duy nhất $a_{k,i}\in\mathbb N$ thỏa mãn
$$a_{k,i}+\lfloor g(h_i(a_{k,i}))\rfloor=k,\qquad\forall i\in\mathbb N.$$
Ở đây $\lfloor x\rfloor$ là số nguyên lớn nhất không vượt quá số thực $x$.