Câu hỏi 81
Dãy số thực $(a_n)_{n=0}^{\infty}$ được xác định bởi $a_0 = 2$ và công thức truy hồi
$$
a_n = \begin{cases} a_{n-1}^2 & \text{nếu } a_{n-1} \lt \sqrt{3} \\ \frac{a_{n-1}^2}{3} & \text{nếu } a_{n-1} \ge \sqrt{3}. \end{cases}
$$
Một dãy số thực khác $(b_n)_{n=1}^{\infty}$ được định nghĩa theo dãy đầu bởi
$$
b_n = \begin{cases} 0 & \text{nếu } a_{n-1} \lt \sqrt{3} \\ \frac{1}{2^n} & \text{nếu } a_{n-1} \ge \sqrt{3}, \end{cases}
$$
với mỗi $n \ge 1$. Chứng minh
$$
b_1 + b_2 + \dots + b_{2020} \lt \frac{2}{3}.
$$
$$
a_n = \begin{cases} a_{n-1}^2 & \text{nếu } a_{n-1} \lt \sqrt{3} \\ \frac{a_{n-1}^2}{3} & \text{nếu } a_{n-1} \ge \sqrt{3}. \end{cases}
$$
Một dãy số thực khác $(b_n)_{n=1}^{\infty}$ được định nghĩa theo dãy đầu bởi
$$
b_n = \begin{cases} 0 & \text{nếu } a_{n-1} \lt \sqrt{3} \\ \frac{1}{2^n} & \text{nếu } a_{n-1} \ge \sqrt{3}, \end{cases}
$$
với mỗi $n \ge 1$. Chứng minh
$$
b_1 + b_2 + \dots + b_{2020} \lt \frac{2}{3}.
$$