Câu hỏi 54
Cho $\alpha\in(0,1)$. Chứng minh rằng tồn tại dãy $(\varepsilon_n)_{n\geq1}$, mỗi số hạng nhận giá trị $0$ hoặc $1$, sao cho dãy $(s_n)_{n\geq1}$ được xác định bởi
$$
s_n=\frac{\varepsilon_1}{n(n+1)}+\frac{\varepsilon_2}{(n+1)(n+2)}+\cdots+\frac{\varepsilon_n}{(2n-1)2n}
$$
thỏa mãn
$$
0\leq\alpha-2ns_n\leq\frac{2}{n+1}
$$
với mọi $n\geq2$.
Lưu ý về ký hiệu: nguồn ghi $(\varepsilon_n)_{n\gt1}$ nhưng công thức định nghĩa lại sử dụng $\varepsilon_1$. Chỉ số của dãy được khôi phục thành $n\geq1$ để công thức có nghĩa.
$$
s_n=\frac{\varepsilon_1}{n(n+1)}+\frac{\varepsilon_2}{(n+1)(n+2)}+\cdots+\frac{\varepsilon_n}{(2n-1)2n}
$$
thỏa mãn
$$
0\leq\alpha-2ns_n\leq\frac{2}{n+1}
$$
với mọi $n\geq2$.
Lưu ý về ký hiệu: nguồn ghi $(\varepsilon_n)_{n\gt1}$ nhưng công thức định nghĩa lại sử dụng $\varepsilon_1$. Chỉ số của dãy được khôi phục thành $n\geq1$ để công thức có nghĩa.