Câu hỏi 190
Ngân hàng Oslo phát hành các đồng xu làm từ hai loại kim loại: nhôm (kí hiệu $A$) và đồng (kí hiệu $C$). Morgane có $n$ đồng xu nhôm và $n$ đồng xu đồng, và cô xếp $2n$ đồng xu thành một hàng theo một thứ tự ban đầu tùy ý. Với một số nguyên dương cố định $k \leqslant 2n$, cô lặp đi lặp lại thao tác sau: xác định dãy con dài nhất gồm các đồng xu liên tiếp làm từ cùng một kim loại và chứa đồng xu thứ $k$ tính từ trái, rồi chuyển tất cả các đồng xu trong dãy con đó về đầu bên trái của hàng. Ví dụ, nếu $n=4$ và $k=4$, quá trình bắt đầu từ cấu hình $A A C C C A C A$ sẽ là
$$
A A C C C A C A \rightarrow C C C A A A C A \rightarrow A A A C C C C A \rightarrow C C C C A A A A \rightarrow \cdots .
$$
Tìm tất cả các cặp $(n, k)$ với $1 \leqslant k \leqslant 2n$ sao cho với mọi cấu hình ban đầu, tại một thời điểm nào đó của quá trình sẽ có nhiều nhất một đồng xu nhôm kề với một đồng xu đồng.
$$
A A C C C A C A \rightarrow C C C A A A C A \rightarrow A A A C C C C A \rightarrow C C C C A A A A \rightarrow \cdots .
$$
Tìm tất cả các cặp $(n, k)$ với $1 \leqslant k \leqslant 2n$ sao cho với mọi cấu hình ban đầu, tại một thời điểm nào đó của quá trình sẽ có nhiều nhất một đồng xu nhôm kề với một đồng xu đồng.