Câu hỏi 113
Cho tam giác cân $ABC$ có các cạnh $AB = 4$, $BC = AC = 6$.
Trên cạnh $AB$ lấy các điểm $X_1, X_2, X_3, \dots$ theo thứ tự đó sao cho độ dài các đoạn $AX_1, X_1X_2, X_2X_3, \dots$ lập thành một cấp số nhân vô hạn với số hạng đầu $3$ và công bội $1/4$.
Trên cạnh $BC$ lấy các điểm $Y_1, Y_2, Y_3, \dots$ theo thứ tự đó sao cho độ dài các đoạn $CY_1, Y_1Y_2, Y_2Y_3, \dots$ lập thành một cấp số nhân vô hạn với số hạng đầu $3$ và công bội $1/2$.
Trên cạnh $AC$ lấy các điểm $Z_1, Z_2, Z_3, \dots$ theo thứ tự đó sao cho độ dài các đoạn $AZ_1, Z_1Z_2, Z_2Z_3, \dots$ lập thành một cấp số nhân vô hạn với số hạng đầu $3$ và công bội $1/2$.
Tìm tất cả các bộ ba số tự nhiên $(a, b, c)$ sao cho các đoạn thẳng $AY_a$, $BZ_b$ và $CX_c$ đồng quy.
Trên cạnh $AB$ lấy các điểm $X_1, X_2, X_3, \dots$ theo thứ tự đó sao cho độ dài các đoạn $AX_1, X_1X_2, X_2X_3, \dots$ lập thành một cấp số nhân vô hạn với số hạng đầu $3$ và công bội $1/4$.
Trên cạnh $BC$ lấy các điểm $Y_1, Y_2, Y_3, \dots$ theo thứ tự đó sao cho độ dài các đoạn $CY_1, Y_1Y_2, Y_2Y_3, \dots$ lập thành một cấp số nhân vô hạn với số hạng đầu $3$ và công bội $1/2$.
Trên cạnh $AC$ lấy các điểm $Z_1, Z_2, Z_3, \dots$ theo thứ tự đó sao cho độ dài các đoạn $AZ_1, Z_1Z_2, Z_2Z_3, \dots$ lập thành một cấp số nhân vô hạn với số hạng đầu $3$ và công bội $1/2$.
Tìm tất cả các bộ ba số tự nhiên $(a, b, c)$ sao cho các đoạn thẳng $AY_a$, $BZ_b$ và $CX_c$ đồng quy.