MathNet 2022-part-01 — 197 bài (EN–VI) Câu hỏi 107

Ta nói một số tự nhiên là tròn nếu số ước của nó là một số chính phương. Với một số tự nhiên tròn $n$ có $d^{2}$ ước, ta lập một bảng $d \times d$ và điền vào các ô của bảng các ước của $n$. Ở mỗi bước, ta có thể chọn một hàng của bảng và chuyển ước ở cột 1 sang cột 2, ước ở cột 2 sang cột $3, \ldots$, ước ở cột $d$ sang cột 1. Một cấu hình bất kì của bảng mà ta đạt được được gọi là khả thi nếu có một cột chứa các phần tử $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{d}$ theo thứ tự đó và $a_{1}\mid a_{2}\mid \ldots \mid a_{d}$ hoặc $a_{d}\mid a_{d-1}\mid \ldots \mid a_{1}$.
Tìm các số tròn $n \geqslant 2$ sao cho, dù điền bảng các ước của nó ban đầu như thế nào, luôn tồn tại một cấu hình khả thi đạt được sau hữu hạn bước.