Câu hỏi 106
Tổng các lũy thừa cùng bậc của các số nguyên dương liên tiếp được định nghĩa là
$$
S_m(N) = \sum_{k=1}^{N-1} k^m
$$
Đặc biệt,
$$
S_1(N) = 1 + 2 + \cdots + (N-1) = \frac{N(N-1)}{2}
$$
$$
S_2(N) = 1^2 + 2^2 + \cdots + (N-1)^2 = \frac{N(N-1)(2N-1)}{6}
$$
$$
S_3(N) = 1^3 + 2^3 + \cdots + (N-1)^3 = \frac{N^2(N-1)^2}{4}
$$
Chứng minh rằng
$$
S_2(N)S_3(N) = \frac{7}{12}S_6(N) + \frac{5}{12}S_4(N)
$$
$$
S_m(N) = \sum_{k=1}^{N-1} k^m
$$
Đặc biệt,
$$
S_1(N) = 1 + 2 + \cdots + (N-1) = \frac{N(N-1)}{2}
$$
$$
S_2(N) = 1^2 + 2^2 + \cdots + (N-1)^2 = \frac{N(N-1)(2N-1)}{6}
$$
$$
S_3(N) = 1^3 + 2^3 + \cdots + (N-1)^3 = \frac{N^2(N-1)^2}{4}
$$
Chứng minh rằng
$$
S_2(N)S_3(N) = \frac{7}{12}S_6(N) + \frac{5}{12}S_4(N)
$$