Câu hỏi 70
Gọi $\mathcal{X}$ là họ tất cả các tập con khác rỗng (không nhất thiết hữu hạn) của tập số nguyên dương $\mathbb{N}$. Tìm tất cả các hàm số $f: \mathcal{X} \to \mathbb{R}^+$ thỏa mãn các tính chất sau:
(i) nếu $S \subseteq T$ là các tập con khác rỗng của $\mathbb{N}$ thì $f(T) \le f(S)$;
(ii) với mọi $S, T \in \mathcal{X}$,
$$
f(S) + f(T) \le f(S + T), \quad f(S)f(T) = f(S \cdot T),
$$
trong đó $S + T = \{s + t \mid s \in S, t \in T\}, S \cdot T = \{s \cdot t \mid s \in S, t \in T\}$.
(i) nếu $S \subseteq T$ là các tập con khác rỗng của $\mathbb{N}$ thì $f(T) \le f(S)$;
(ii) với mọi $S, T \in \mathcal{X}$,
$$
f(S) + f(T) \le f(S + T), \quad f(S)f(T) = f(S \cdot T),
$$
trong đó $S + T = \{s + t \mid s \in S, t \in T\}, S \cdot T = \{s \cdot t \mid s \in S, t \in T\}$.