Câu hỏi 137
Cho $S_{0}$ là một hình vuông đơn vị trong mặt phẳng tọa độ Descartes có các cạnh nằm ngang và thẳng đứng. Với mọi $n\gt 0$, hình $S_{n}$ được tạo thành bằng cách ghép 9 bản sao của $S_{n-1}$ thành một lưới $3 \times 3$ rồi bỏ đi bản sao ở giữa. Ví dụ, $S_{3}$ được minh họa dưới đây:
Gọi $a_{n}$ là giá trị kỳ vọng của $|x-x'|+|y-y'|$, trong đó $(x, y)$ và $(x', y')$ là hai điểm được chọn ngẫu nhiên trong $S_{n}$. Tồn tại các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau $a$ và $b$ sao cho
$$
\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n}}{3^{n}}=\frac{a}{b} .
$$
Tính $100 a+b$.
Gọi $a_{n}$ là giá trị kỳ vọng của $|x-x'|+|y-y'|$, trong đó $(x, y)$ và $(x', y')$ là hai điểm được chọn ngẫu nhiên trong $S_{n}$. Tồn tại các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau $a$ và $b$ sao cho
$$
\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n}}{3^{n}}=\frac{a}{b} .
$$
Tính $100 a+b$.