Câu hỏi 81
Ban đầu, trên bảng có một đa thức không hằng $S(x)$ với hệ số thực. Mỗi khi trên bảng có đa thức $P(x)$, dù có thể còn các đa thức khác, ta được viết thêm bất kỳ đa thức nào dạng $P(C+x)$ hoặc $C+P(x)$, với $C$ là hằng số thực. Ngoài ra, nếu trên bảng có hai đa thức $P(x),Q(x)$, không nhất thiết phân biệt, ta được viết thêm $P(Q(x))$ và $P(x)+Q(x)$. Không bao giờ xóa đa thức khỏi bảng.
Cho hai tập số thực $A=\{a_1,a_2,\ldots,a_n\}$ và $B=\{b_1,b_2,\ldots,b_n\}$. Đa thức hệ số thực $f(x)$ được gọi là $(A,B)$-tốt nếu $f(A)=B$, trong đó $f(A)=\{f(a_i):i=1,2,\ldots,n\}$.
Hãy xác định tất cả các đa thức $S(x)$ có thể viết lên bảng ban đầu sao cho, với mọi hai tập hữu hạn $A,B$ gồm các số thực có $|A|=|B|$, ta có thể tạo ra một đa thức $(A,B)$-tốt sau hữu hạn bước.
Cho hai tập số thực $A=\{a_1,a_2,\ldots,a_n\}$ và $B=\{b_1,b_2,\ldots,b_n\}$. Đa thức hệ số thực $f(x)$ được gọi là $(A,B)$-tốt nếu $f(A)=B$, trong đó $f(A)=\{f(a_i):i=1,2,\ldots,n\}$.
Hãy xác định tất cả các đa thức $S(x)$ có thể viết lên bảng ban đầu sao cho, với mọi hai tập hữu hạn $A,B$ gồm các số thực có $|A|=|B|$, ta có thể tạo ra một đa thức $(A,B)$-tốt sau hữu hạn bước.