MathNet 2021 — Phần 07 Câu hỏi 69

Cho $n$ là một số nguyên dương. Chứng minh rằng tồn tại một đơn ánh $\sigma:\{1,2,\ldots,n\}\to\{1,2,\ldots,n\}$ sao cho
$$
\sum_{k=1}^{n}\frac{k}{(k+\sigma(k))^2}\lt\frac12.
$$