Câu hỏi 49
Cho số nguyên dương $n$. Ta gọi một đa thức $P$ với hệ số thực là $n$-đẹp nếu phương trình $P(\lfloor x\rfloor)=\lfloor P(x)\rfloor$ có đúng $n$ nghiệm thực. Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương $n$:
Phần (a). tồn tại một đa thức $n$-đẹp;
Phần (b). mọi đa thức $n$-đẹp đều có bậc ít nhất là $\dfrac{2n+1}{3}$.
(Chú thích. Với số thực $x$, ký hiệu $\lfloor x\rfloor$ là số nguyên lớn nhất không vượt quá $x$.)
Phần (a). tồn tại một đa thức $n$-đẹp;
Phần (b). mọi đa thức $n$-đẹp đều có bậc ít nhất là $\dfrac{2n+1}{3}$.
(Chú thích. Với số thực $x$, ký hiệu $\lfloor x\rfloor$ là số nguyên lớn nhất không vượt quá $x$.)