Câu hỏi 27
Một bản đồ kho báu gồm bản đồ của một hòn đảo (trải dài vô hạn theo mọi hướng), trên đó có một lưới ô vuông. Các ô được đánh số theo đường xoắn ốc như hình.
Những tên cướp biển chia kho báu vào các rương và chôn chúng trong một số ô, cụ thể là những ô “mang số $n$ tự chứa chỉ dẫn để đi từ ô 1 đến ô đó”. Câu này có nghĩa như sau: viết $n$ trong hệ thập phân và gọi các chữ số từ trái sang phải là $a_1,\ldots,a_k$. Ô $n$ chứa một rương đựng một phần kho báu
khi và chỉ khi có thể đến ô đó bằng cách xuất phát từ ô 1, đi $a_1$ bước theo một hướng (Bắc, Nam, Tây hoặc Đông), rồi đi $a_2$ bước theo một hướng (có thể trùng hướng trước), ..., cuối cùng đi $a_k$ bước theo một trong bốn hướng.
Ví dụ, ô 12 có một rương vì từ ô 1, đi 1 bước về phía Bắc rồi 2 bước về phía Đông sẽ đến đúng ô 12. Ngược lại, ô 1 không có rương vì đi một bước từ ô 1 theo bất kỳ hướng nào cũng đến một ô khác. Chứng minh rằng chỉ có hữu hạn ô chứa rương kho báu.
Những tên cướp biển chia kho báu vào các rương và chôn chúng trong một số ô, cụ thể là những ô “mang số $n$ tự chứa chỉ dẫn để đi từ ô 1 đến ô đó”. Câu này có nghĩa như sau: viết $n$ trong hệ thập phân và gọi các chữ số từ trái sang phải là $a_1,\ldots,a_k$. Ô $n$ chứa một rương đựng một phần kho báu
khi và chỉ khi có thể đến ô đó bằng cách xuất phát từ ô 1, đi $a_1$ bước theo một hướng (Bắc, Nam, Tây hoặc Đông), rồi đi $a_2$ bước theo một hướng (có thể trùng hướng trước), ..., cuối cùng đi $a_k$ bước theo một trong bốn hướng.
Ví dụ, ô 12 có một rương vì từ ô 1, đi 1 bước về phía Bắc rồi 2 bước về phía Đông sẽ đến đúng ô 12. Ngược lại, ô 1 không có rương vì đi một bước từ ô 1 theo bất kỳ hướng nào cũng đến một ô khác. Chứng minh rằng chỉ có hữu hạn ô chứa rương kho báu.