Câu hỏi 57
Cho $a,b,c,d$ là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau từng đôi và không đồng thời bằng $1$. Cho $f,g:\mathbb N\to\{0,1\}$ là hai hàm nhân tính sao cho với mọi số nguyên dương $n$,
$$
f(an+b)=g(cn+d).
$$
Chứng minh rằng ít nhất một trong hai khẳng định sau đúng:
i. $f(an+b)=g(cn+d)=0$ với mọi số nguyên dương $n$.
ii. Tồn tại một số nguyên dương $D$ sao cho với mọi số nguyên dương $n$ thỏa mãn $\gcd(n,D)=1$, ta có $f(n)=g(n)=1$.
(Ta gọi hàm $h:\mathbb N\to\mathbb R$ là nhân tính nếu $h(mn)=h(m)h(n)$ với mọi số nguyên dương $m,n$. Như vậy, trong bài này “nhân tính” có nghĩa là nhân tính hoàn toàn.)
$$
f(an+b)=g(cn+d).
$$
Chứng minh rằng ít nhất một trong hai khẳng định sau đúng:
i. $f(an+b)=g(cn+d)=0$ với mọi số nguyên dương $n$.
ii. Tồn tại một số nguyên dương $D$ sao cho với mọi số nguyên dương $n$ thỏa mãn $\gcd(n,D)=1$, ta có $f(n)=g(n)=1$.
(Ta gọi hàm $h:\mathbb N\to\mathbb R$ là nhân tính nếu $h(mn)=h(m)h(n)$ với mọi số nguyên dương $m,n$. Như vậy, trong bài này “nhân tính” có nghĩa là nhân tính hoàn toàn.)