Câu hỏi 35
Gọi $\mathbb{R}[x]$ là tập hợp tất cả các đa thức có hệ số thực, và ký hiệu $\operatorname{deg}P$ là bậc của đa thức khác không $P$. Tìm tất cả các hàm $f:\mathbb{R}[x]\to\mathbb{R}[x]$ thỏa mãn các điều kiện sau:
- $f$ biến đa thức không thành chính nó.
- Với mọi đa thức khác không $P\in\mathbb{R}[x]$, ta có $\operatorname{deg}f(P)\leq 1+\operatorname{deg}P$.
- Với hai đa thức bất kỳ $P,Q\in\mathbb{R}[x]$, hai đa thức $P-f(Q)$ và $Q-f(P)$ có cùng tập nghiệm thực.
- $f$ biến đa thức không thành chính nó.
- Với mọi đa thức khác không $P\in\mathbb{R}[x]$, ta có $\operatorname{deg}f(P)\leq 1+\operatorname{deg}P$.
- Với hai đa thức bất kỳ $P,Q\in\mathbb{R}[x]$, hai đa thức $P-f(Q)$ và $Q-f(P)$ có cùng tập nghiệm thực.