Câu hỏi 100
Paul và Sara chơi một trò chơi với các số nguyên trên bảng, Paul đi trước. Trong lượt của mình, Paul được chọn hai số nguyên bất kỳ trên bảng và thay chúng bằng tích của chúng; trong lượt của mình, Sara được chọn hai số nguyên bất kỳ và thay chúng bằng tổng của chúng. Trò chơi tiếp tục đến khi trên bảng chỉ còn đúng một số nguyên. Paul thắng nếu số đó lẻ, còn Sara thắng nếu số đó chẵn.
Ban đầu có $2021$ số nguyên trên bảng, mỗi số được chọn ngẫu nhiên đều từ tập $\{0,1,2,3,\ldots,2021\}$. Giả sử cả hai chơi tối ưu, xác suất Paul thắng là $\frac mn$, với $m,n$ là các số nguyên dương và $\operatorname{gcd}(m,n)=1$. Tìm số dư khi chia $m+n$ cho $1000$.
Ban đầu có $2021$ số nguyên trên bảng, mỗi số được chọn ngẫu nhiên đều từ tập $\{0,1,2,3,\ldots,2021\}$. Giả sử cả hai chơi tối ưu, xác suất Paul thắng là $\frac mn$, với $m,n$ là các số nguyên dương và $\operatorname{gcd}(m,n)=1$. Tìm số dư khi chia $m+n$ cho $1000$.