Câu hỏi 84
Kí hiệu $\mathbb{Z}[x,y,z]$ là tập các đa thức với hệ số nguyên theo ba biến $x,y,z$. Một đa thức $P\in\mathbb{Z}[x,y,z]$ được gọi là olympic nếu tồn tại các đa thức $A,B,C\in\mathbb{Z}[x,y,z]$ sao cho
$$
P(x,y,z)=(x+y+z)A(x,y,z)+(xy+yz+zx)B(x,y,z)+xyzC(x,y,z).
$$
Tìm số nguyên lớn nhất $n$ sao cho tồn tại các số nguyên không âm $i,j,k$ có tổng $i+j+k=n$ và đa thức $x^iy^jz^k$ không là đa thức olympic.
Chú thích. Đa thức với hệ số nguyên theo các biến $x,y,z$ là một hàm có thể viết thành tổng các hạng tử dạng $\lambda x^iy^jz^k$, trong đó $\lambda$ là số nguyên, còn $i,j,k$ là các số nguyên không âm. Chẳng hạn, $x-y+1$ và $xy+yz+zx$ là những đa thức như vậy, nhưng $\pi xyz$, $\exp(x)$, $x/(y^2+1)$ và $\sqrt{xy+z}$ thì không.
$$
P(x,y,z)=(x+y+z)A(x,y,z)+(xy+yz+zx)B(x,y,z)+xyzC(x,y,z).
$$
Tìm số nguyên lớn nhất $n$ sao cho tồn tại các số nguyên không âm $i,j,k$ có tổng $i+j+k=n$ và đa thức $x^iy^jz^k$ không là đa thức olympic.
Chú thích. Đa thức với hệ số nguyên theo các biến $x,y,z$ là một hàm có thể viết thành tổng các hạng tử dạng $\lambda x^iy^jz^k$, trong đó $\lambda$ là số nguyên, còn $i,j,k$ là các số nguyên không âm. Chẳng hạn, $x-y+1$ và $xy+yz+zx$ là những đa thức như vậy, nhưng $\pi xyz$, $\exp(x)$, $x/(y^2+1)$ và $\sqrt{xy+z}$ thì không.