Câu hỏi 23
Hình vuông $ABCD$ trong mặt phẳng tọa độ có các đỉnh tại các điểm $A(1,1),$ $B(-1,1),$ $C(-1,-1),$ và $D(1,-1).$ Xét bốn phép biến đổi sau:
• $L,$ phép quay $90^{\circ}$ ngược chiều kim đồng hồ quanh gốc tọa độ;
• $R,$ phép quay $90^{\circ}$ theo chiều kim đồng hồ quanh gốc tọa độ;
• $H,$ một sự phản chiếu qua trục $x$; và
• $V,$ sự phản chiếu qua trục $y$.
Mỗi phép biến đổi này ánh xạ hình vuông lên chính nó, nhưng vị trí của các đỉnh được dán nhãn sẽ thay đổi. Ví dụ: áp dụng $R$ và sau đó $V$ sẽ gửi đỉnh $A$ tại $(1,1)$ tới $(-1,-1)$ và sẽ gửi đỉnh $B$ tại $(-1,1)$ tới chính nó. Có bao nhiêu chuỗi phép biến đổi $20$ được chọn từ $\{L, R, H, V\}$ sẽ đưa tất cả các đỉnh được gắn nhãn trở lại vị trí ban đầu của chúng? (Ví dụ: $R,$ $R,$ $V,$ $H$ là một chuỗi các phép biến đổi $4$ sẽ đưa các đỉnh trở lại vị trí ban đầu của chúng.)
• $L,$ phép quay $90^{\circ}$ ngược chiều kim đồng hồ quanh gốc tọa độ;
• $R,$ phép quay $90^{\circ}$ theo chiều kim đồng hồ quanh gốc tọa độ;
• $H,$ một sự phản chiếu qua trục $x$; và
• $V,$ sự phản chiếu qua trục $y$.
Mỗi phép biến đổi này ánh xạ hình vuông lên chính nó, nhưng vị trí của các đỉnh được dán nhãn sẽ thay đổi. Ví dụ: áp dụng $R$ và sau đó $V$ sẽ gửi đỉnh $A$ tại $(1,1)$ tới $(-1,-1)$ và sẽ gửi đỉnh $B$ tại $(-1,1)$ tới chính nó. Có bao nhiêu chuỗi phép biến đổi $20$ được chọn từ $\{L, R, H, V\}$ sẽ đưa tất cả các đỉnh được gắn nhãn trở lại vị trí ban đầu của chúng? (Ví dụ: $R,$ $R,$ $V,$ $H$ là một chuỗi các phép biến đổi $4$ sẽ đưa các đỉnh trở lại vị trí ban đầu của chúng.)