AMC 10B năm 2020

Giá trị của $$
\begin{aligned} &1 - (-2) - 3 - (-4) \\ &\quad {}- 5 - (-6)? \end{aligned}
$$ là bao nhiêu

Carl có $5$ hình khối, mỗi hình có chiều dài cạnh $1,$ và Kate có $5$ hình khối, mỗi hình có chiều dài cạnh $2.$ Tổng thể tích của hình khối $10$ này là bao nhiêu?

Tỷ lệ của $w$ đến $x$ là $4:3,$ tỷ lệ của $y$ đến $z$ là $3:2,$ và tỷ lệ của $z$ đến $x$ là $1:6.$ là gì tỷ lệ của $w$ đến $y?$

Các góc nhọn của tam giác vuông là $a^{\circ}$ và $b^{\circ},$ trong đó $a>b$ và cả $a$ và $b$ đều là số nguyên tố. Giá trị nhỏ nhất có thể có của $b?$ là bao nhiêu

Có bao nhiêu cách sắp xếp có thể phân biệt được $1$ ô màu nâu, $1$ ô màu tím, $2$ ô màu xanh lá cây và $3$ ô màu vàng xếp thành một hàng từ trái sang phải? (Các viên gạch cùng màu không thể phân biệt được.)

Đang lái xe dọc theo đường cao tốc, Megan nhận thấy đồng hồ đo đường của cô hiển thị $15951$ (dặm). Số này là một bảng màu—nó đọc xuôi và đọc ngược như nhau. Sau đó $2$ giờ sau, đồng hồ đo đường hiển thị bảng màu cao hơn tiếp theo. Tốc độ trung bình của cô ấy là bao nhiêu, tính bằng dặm một giờ, trong khoảng thời gian $2$ giờ này?

Có bao nhiêu bội số chẵn dương của $3$ nhỏ hơn $2020$ là số chính phương?

Các điểm $P$ và $Q$ nằm trong một mặt phẳng với $PQ=8.$ Có bao nhiêu vị trí của điểm $R$ trong mặt phẳng này sao cho tam giác có các đỉnh $P,$ $Q,$ và $R$ là một tam giác vuông với diện tích $12$ đơn vị vuông?

Có bao nhiêu cặp số nguyên có thứ tự $(x, y)$ thỏa mãn phương trình $$
x^{2020}+y^2=2y?
$$

Một phần ba phần tư của hình tròn có bán kính $4$ inch cùng với phần bên trong của nó có thể được cuộn lại để tạo thành bề mặt bên của hình nón tròn bên phải bằng cách dán lại với nhau dọc theo hai bán kính như hình minh họa. thể tích của hình nón tính bằng inch khối là bao nhiêu?

Cô Carr yêu cầu học sinh của mình đọc bất kỳ cuốn sách $5$ nào trong số $10$ trong danh sách đọc. Harold chọn ngẫu nhiên $5$ sách từ danh sách này và Betty cũng làm như vậy. xác suất mà có chính xác $2$ sách mà cả hai đều chọn là gì?

Biểu diễn thập phân của $$
\frac{1}{20^{20}}
$$ bao gồm một chuỗi số 0 sau dấu thập phân, theo sau là $9$ và sau đó là một số chữ số khác. Có bao nhiêu số 0 trong chuỗi số 0 đầu tiên sau dấu thập phân?

Kiến Andy sống trên một mặt phẳng tọa độ và hiện đang ở hướng $(-20, 20)$ hướng về phía đông (nghĩa là theo hướng dương $x$). Andy di chuyển đơn vị $1$ rồi rẽ $90^{\circ}$ sang trái. Từ đó, Andy di chuyển $2$ đơn vị (hướng bắc) rồi rẽ $90^{\circ}$ sang trái. Sau đó, anh ta di chuyển $3$ đơn vị (phía tây) và lại rẽ $90^{\circ}$ sang trái. Andy tiếp tục quá trình này, mỗi lần tăng khoảng cách thêm $1$ đơn vị và luôn rẽ trái. Vị trí của điểm mà Andy rẽ trái $2020\text{th}$ là gì?

Như thể hiện trong hình bên dưới, sáu hình bán nguyệt nằm bên trong một hình lục giác đều có chiều dài cạnh $2$ sao cho đường kính của hình bán nguyệt trùng với các cạnh của hình lục giác. diện tích của vùng được tô bóng—bên trong hình lục giác nhưng bên ngoài tất cả các hình bán nguyệt là gì?

Steve viết các chữ số $1,$ $2,$ $3,$ $4,$ và $5$ theo thứ tự lặp đi lặp lại từ trái sang phải, tạo thành một danh sách gồm $10{,}000$ chữ số, bắt đầu $123451234512\ldots$ Sau đó, Steve xóa mọi chữ số thứ ba khỏi danh sách của mình (tức là số $3$rd, $6$th, $9$th, $\ldots$ chữ số từ bên trái), sau đó xóa mọi chữ số thứ tư khỏi danh sách kết quả (nghĩa là $4$th, $8$th, $12$th, $\ldots$ chữ số từ bên trái trong phần còn lại), sau đó xóa mọi chữ số thứ năm khỏi phần còn lại tại thời điểm đó. Tổng của ba chữ số khi đó ở vị trí $2019,$ $2020,$ và $2021?$ là bao nhiêu

Bela và Jenn chơi trò chơi sau trên khoảng đóng $[0, n]$ của dãy số thực, trong đó $n$ là một số nguyên cố định lớn hơn $4.$ Họ thay phiên nhau chơi, Bela sẽ chơi trước. Ở lượt đầu tiên của mình, Bela chọn bất kỳ số thực nào trong khoảng $[0, n].$ Sau đó, người chơi ở lượt đó sẽ chọn một số thực cách xa tất cả các số mà một trong hai người chơi đã chọn trước đó nhiều hơn một đơn vị. Người chơi không chọn được số như vậy sẽ thua. Sử dụng chiến lược tối ưu, người chơi nào sẽ giành chiến thắng trong trò chơi?

Có $10$ người đứng cách đều nhau quanh một vòng tròn. Mỗi người biết chính xác $3$ của $9$ người khác: $2$ những người đứng cạnh cô ấy hoặc anh ấy, cũng như người ngay đối diện vòng tròn. Có bao nhiêu cách để $10$ người chia thành các cặp $5$ để các thành viên của mỗi cặp biết nhau?

Một chiếc bình chứa một quả bóng màu đỏ và một quả bóng màu xanh. Một hộp đựng thêm những quả bóng màu đỏ và xanh nằm gần đó. George thực hiện thao tác sau bốn lần: anh ta lấy ngẫu nhiên một quả bóng từ bình và sau đó lấy một quả bóng cùng màu từ hộp và trả lại hai quả bóng giống nhau đó vào bình. Sau bốn lần lặp lại, chiếc bình chứa sáu quả bóng. xác suất mà chiếc bình chứa ba quả bóng mỗi màu là gì?

Trong một trò chơi bài nhất định, người chơi được chia một tay bài $10$ từ bộ bài $52$ lá bài riêng biệt. Số ván bài riêng biệt (không có thứ tự) có thể chia cho người chơi có thể được viết là $158A00A4AA0.$ Chữ số $A?$ là gì

Giả sử $B$ là một hình lăng trụ đứng (hộp) hình chữ nhật có chiều dài các cạnh $1,$ $3,$ và $4,$ cùng với phần bên trong của nó. Đối với $r\geq0,$ thực, hãy đặt $S(r)$ là tập hợp các điểm trong không gian hai chiều $3$ nằm trong khoảng cách $r$ của một số điểm trong $B.$ thể tích của $S(r)$ có thể được biểu thị dưới dạng $$
ar^{3} + br^{2} + cr +d,
$$ trong đó $a,$ $b,$ $c,$ và $d$ là các số thực dương. $\dfrac{bc}{ad}?$ là gì