Câu hỏi 27
Gọi $\mathbb{Z}_{\gt 0}$ là tập các số nguyên dương. Xét hàm $f: \mathbb{Z}_{\gt 0} \rightarrow \mathbb{Z}_{\gt 0}$. Với $m, n \in \mathbb{Z}_{\gt 0}$, viết $f^{n}(m)=\underbrace{f(f(\ldots f}_{n}(m) \ldots))$. Giả sử $f$ có các tính chất:
(i) Nếu $m, n \in \mathbb{Z}_{\gt 0}$, thì $\frac{f^{n}(m)-m}{n} \in \mathbb{Z}_{\gt 0}$;
(ii) Tập $\mathbb{Z}_{\gt 0} \backslash\left\{f(n) \mid n \in \mathbb{Z}_{\gt 0}\right\}$ hữu hạn.
Chứng minh dãy $f(1)-1, f(2)-2, f(3)-3, \ldots$ tuần hoàn.
(i) Nếu $m, n \in \mathbb{Z}_{\gt 0}$, thì $\frac{f^{n}(m)-m}{n} \in \mathbb{Z}_{\gt 0}$;
(ii) Tập $\mathbb{Z}_{\gt 0} \backslash\left\{f(n) \mid n \in \mathbb{Z}_{\gt 0}\right\}$ hữu hạn.
Chứng minh dãy $f(1)-1, f(2)-2, f(3)-3, \ldots$ tuần hoàn.