Câu hỏi 25
Giả sử hai dãy số nguyên dương $a_{0}, a_{1}, \ldots$, $b_{0}, b_{1}, \ldots$ thỏa mãn $a_{0}, b_{0} \geqslant 2$ và
$$
a_{n+1}=\operatorname{gcd}\left(a_{n}, b_{n}\right)+1, \quad b_{n+1}=\operatorname{lcm}\left(a_{n}, b_{n}\right)-1
$$
với mọi $n \geqslant 0$. Chứng minh dãy $\left(a_{n}\right)$ tuần hoàn từ một số hạng trở đi; tức tồn tại các số nguyên $N \geqslant 0$, $t\gt 0$, sao cho $a_{n+t}=a_{n}$ với mọi $n \geqslant N$.
$$
a_{n+1}=\operatorname{gcd}\left(a_{n}, b_{n}\right)+1, \quad b_{n+1}=\operatorname{lcm}\left(a_{n}, b_{n}\right)-1
$$
với mọi $n \geqslant 0$. Chứng minh dãy $\left(a_{n}\right)$ tuần hoàn từ một số hạng trở đi; tức tồn tại các số nguyên $N \geqslant 0$, $t\gt 0$, sao cho $a_{n+t}=a_{n}$ với mọi $n \geqslant N$.