Câu hỏi 181
Cho tứ giác lồi $ABCD$ với $\angle B \lt \angle A \lt 90^\circ$. Gọi $I$ là trung điểm của $AB$ và $S$ là giao điểm của $AD$ và $BC$. Gọi $R$ là một điểm thay đổi nằm trong tam giác $SAB$ sao cho $\angle ASR = \angle BSR$. Trên các đường thẳng $AR, BR$ lần lượt lấy các điểm $E, F$ sao cho $BE, AF$ song song với $RS$. Giả sử $EF$ cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác $SAB$ tại các điểm $H, K$. Trên đoạn thẳng $AB$ lấy các điểm $M, N$ sao cho $\angle AHM = \angle BHI, \angle BKN = \angle AKI$.
a) Chứng minh rằng tâm $J$ của đường tròn ngoại tiếp tam giác $SMN$ nằm trên một đường thẳng cố định.
b) Trên $BE, AF$ lần lượt lấy các điểm $P, Q$ sao cho $CP$ song song với $SE$ và $DQ$ song song với $SF$. Các đường thẳng $SE, SF$ cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác $SAB$ lần lượt tại $U, V$. Gọi $G$ là giao điểm của $AU$ và $BV$. Chứng minh rằng đường trung tuyến kẻ từ đỉnh $G$ của tam giác $GPQ$ luôn đi qua một điểm cố định.
a) Chứng minh rằng tâm $J$ của đường tròn ngoại tiếp tam giác $SMN$ nằm trên một đường thẳng cố định.
b) Trên $BE, AF$ lần lượt lấy các điểm $P, Q$ sao cho $CP$ song song với $SE$ và $DQ$ song song với $SF$. Các đường thẳng $SE, SF$ cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác $SAB$ lần lượt tại $U, V$. Gọi $G$ là giao điểm của $AU$ và $BV$. Chứng minh rằng đường trung tuyến kẻ từ đỉnh $G$ của tam giác $GPQ$ luôn đi qua một điểm cố định.