Câu hỏi 178
Cho ba hàm số
$$
P(x) = (x^2 - 1)^{2023}, Q(x) = (2x + 1)^{14}, R(x) = \left(2x + 1 + \frac{2}{x}\right)^{34}.
$$
Ban đầu, ta chọn một tập $S$ chứa hai trong ba hàm số này, rồi thực hiện một số phép toán trên $S$. Các phép toán được phép gồm:
* Lấy hai hàm $p, q \in S$ và thêm một trong các hàm $p+q, p-q$ hoặc $pq$ vào $S$.
* Lấy một hàm $p \in S$ và thêm $p^k$ vào $S$, với $k$ là một số nguyên dương tùy ý.
* Lấy một hàm $p \in S$, chọn một số thực $t$, và thêm vào $S$ một trong các hàm $p+t, p-t, pt$.
Chứng minh rằng dù chọn $S$ ban đầu như thế nào, không thể thực hiện hữu hạn phép toán trên $S$ để cuối cùng thu được hàm số thứ ba không nằm trong $S$.
$$
P(x) = (x^2 - 1)^{2023}, Q(x) = (2x + 1)^{14}, R(x) = \left(2x + 1 + \frac{2}{x}\right)^{34}.
$$
Ban đầu, ta chọn một tập $S$ chứa hai trong ba hàm số này, rồi thực hiện một số phép toán trên $S$. Các phép toán được phép gồm:
* Lấy hai hàm $p, q \in S$ và thêm một trong các hàm $p+q, p-q$ hoặc $pq$ vào $S$.
* Lấy một hàm $p \in S$ và thêm $p^k$ vào $S$, với $k$ là một số nguyên dương tùy ý.
* Lấy một hàm $p \in S$, chọn một số thực $t$, và thêm vào $S$ một trong các hàm $p+t, p-t, pt$.
Chứng minh rằng dù chọn $S$ ban đầu như thế nào, không thể thực hiện hữu hạn phép toán trên $S$ để cuối cùng thu được hàm số thứ ba không nằm trong $S$.