Câu hỏi 172
Cho $p$ là một số nguyên tố cố định và $a \ge 2$, $e \ge 1$ là các số nguyên cố định. Với một hàm $f: \mathbb{Z}/a\mathbb{Z} \to \mathbb{Z}/p^e\mathbb{Z}$ và một số nguyên $k \ge 0$, sai phân hữu hạn cấp $k$, ký hiệu $\Delta^k f$, là hàm từ $\mathbb{Z}/a\mathbb{Z}$ vào $\mathbb{Z}/p^e\mathbb{Z}$ được định nghĩa đệ quy bởi
$$
\begin{aligned}
\Delta^0 f(n) &= f(n) \\
\Delta^k f(n) &= \Delta^{k-1} f(n+1) - \Delta^{k-1} f(n) \quad \text{với } k = 1, 2, \dots
\end{aligned}
$$
Xác định số hàm $f$ sao cho tồn tại $k \ge 1$ để $\Delta^k f = f$.
$$
\begin{aligned}
\Delta^0 f(n) &= f(n) \\
\Delta^k f(n) &= \Delta^{k-1} f(n+1) - \Delta^{k-1} f(n) \quad \text{với } k = 1, 2, \dots
\end{aligned}
$$
Xác định số hàm $f$ sao cho tồn tại $k \ge 1$ để $\Delta^k f = f$.