Câu hỏi 180
Trong tam giác nhọn $ABC$ không cân, $AP$, $BQ$, $CR$ là ba đường cao, $H$ là trực tâm. Đường thẳng qua $A$ song song với $BC$ cắt đường thẳng $RQ$ tại điểm $D$. Gọi $A_1$ là trung điểm của $BC$, và $K$ là giao điểm của $RQ$ và $AA_1$. Đường thẳng đi qua trung điểm của $AH$ và điểm $K$ cắt đường thẳng $DA_1$ tại điểm $A_2$. Tương tự định nghĩa các điểm $B_2$ và $C_2$.
Giả sử đường tròn ngoại tiếp tam giác không suy biến $A_2B_2C_2$ là $\omega$. Chứng minh rằng: tồn tại ba đường tròn $\odot A'$, $\odot B'$ và $\odot C'$ nằm bên trong $\omega$, tiếp xúc với $\omega$ và thỏa mãn các điều kiện sau:
(1) $\odot A'$ tiếp xúc với các cạnh $AB$, $AC$, $\odot B'$ tiếp xúc với các cạnh $BA$, $BC$, và $\odot C'$ tiếp xúc với các cạnh $CA$, $CB$;
(2) Tâm của ba đường tròn là $A'$, $B'$, $C'$ phân biệt và thẳng hàng.
Giả sử đường tròn ngoại tiếp tam giác không suy biến $A_2B_2C_2$ là $\omega$. Chứng minh rằng: tồn tại ba đường tròn $\odot A'$, $\odot B'$ và $\odot C'$ nằm bên trong $\omega$, tiếp xúc với $\omega$ và thỏa mãn các điều kiện sau:
(1) $\odot A'$ tiếp xúc với các cạnh $AB$, $AC$, $\odot B'$ tiếp xúc với các cạnh $BA$, $BC$, và $\odot C'$ tiếp xúc với các cạnh $CA$, $CB$;
(2) Tâm của ba đường tròn là $A'$, $B'$, $C'$ phân biệt và thẳng hàng.