Câu hỏi 178
(1) Chứng minh rằng: trên mặt phẳng phức, với mỗi đường thẳng đi qua gốc tọa độ khác trục thực, có nhiều nhất một điểm $z$ trên đường thẳng đó sao cho $\frac{1+z^{23}}{z^{64}}$ là số thực.
(2) Chứng minh rằng: với mọi số phức $a \ne 0$ và mọi số thực $\theta$, phương trình
$$
1 + z^{23} + a z^{64} = 0
$$
có ít nhất một nghiệm thuộc tập
$$
S_{\theta} = \{z \in \mathbb{C} \mid \mathrm{Re}(z \cdot e^{-i\theta}) \ge |z| \cdot \cos \frac{\pi}{20}\}.
$$
(2) Chứng minh rằng: với mọi số phức $a \ne 0$ và mọi số thực $\theta$, phương trình
$$
1 + z^{23} + a z^{64} = 0
$$
có ít nhất một nghiệm thuộc tập
$$
S_{\theta} = \{z \in \mathbb{C} \mid \mathrm{Re}(z \cdot e^{-i\theta}) \ge |z| \cdot \cos \frac{\pi}{20}\}.
$$