Câu hỏi 175
(1) Cho các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau $a, b$. Chứng minh rằng: Tồn tại các số thực $\lambda, \beta$ sao cho với mọi số nguyên dương $m$, ta có
$$
\lambda m - \beta \le \sum_{k=1}^{m-1} \left\{ \frac{ak}{m} \right\} \cdot \left\{ \frac{bk}{m} \right\} \le \lambda m + \beta.
$$
(2) Chứng minh rằng: tồn tại số nguyên dương $N$ sao cho với mọi số nguyên tố $p \gt N$, mệnh đề sau đúng:
Nếu các số nguyên dương $a, b, c$ thỏa mãn $(a+b)(a+c)(b+c)$ không chia hết cho $p$ thì có ít nhất $\lfloor \frac{p}{12} \rfloor$ phần tử $k$ trong tập $\{1, 2, \dots, p-1\}$ sao cho
$$
\left\{ \frac{ak}{p} \right\} + \left\{ \frac{bk}{p} \right\} + \left\{ \frac{ck}{p} \right\} \le 1.
$$
Ở đây $\lfloor x \rfloor$ ký hiệu số nguyên lớn nhất không vượt quá $x$, và $\{x\} = x - \lfloor x \rfloor$ ký hiệu phần lẻ của $x$.
$$
\lambda m - \beta \le \sum_{k=1}^{m-1} \left\{ \frac{ak}{m} \right\} \cdot \left\{ \frac{bk}{m} \right\} \le \lambda m + \beta.
$$
(2) Chứng minh rằng: tồn tại số nguyên dương $N$ sao cho với mọi số nguyên tố $p \gt N$, mệnh đề sau đúng:
Nếu các số nguyên dương $a, b, c$ thỏa mãn $(a+b)(a+c)(b+c)$ không chia hết cho $p$ thì có ít nhất $\lfloor \frac{p}{12} \rfloor$ phần tử $k$ trong tập $\{1, 2, \dots, p-1\}$ sao cho
$$
\left\{ \frac{ak}{p} \right\} + \left\{ \frac{bk}{p} \right\} + \left\{ \frac{ck}{p} \right\} \le 1.
$$
Ở đây $\lfloor x \rfloor$ ký hiệu số nguyên lớn nhất không vượt quá $x$, và $\{x\} = x - \lfloor x \rfloor$ ký hiệu phần lẻ của $x$.