Câu hỏi 164
Cho $a$, $b$ và $d$ là các số nguyên thỏa mãn $d \ge 0$, $|a| \ge 2$ và $b \ge (|a| + 1)^{d+1}$. Giả sử $f(x)$ là một đa thức hệ số thực bậc $d$, và với mỗi số nguyên dương $n$, ký hiệu $r_n$ là số dư của $\lfloor f(n)a^n \rfloor$ khi chia cho $b$.
Chứng minh rằng nếu dãy $r_n$ tuần hoàn từ một lúc nào đó thì $f(x)$ là một đa thức hệ số hữu tỉ.
*Chú thích 1:* Với mọi số thực $x$, $\lfloor x \rfloor$ ký hiệu số nguyên lớn nhất không vượt quá $x$.
*Chú thích 2:* Dãy $a_n$ được gọi là *tuần hoàn từ một lúc nào đó* nếu tồn tại các số nguyên dương $n_0$ và $T$ sao cho với mọi số nguyên $n \ge n_0$, ta có $a_{n+T} = a_n$.
Chứng minh rằng nếu dãy $r_n$ tuần hoàn từ một lúc nào đó thì $f(x)$ là một đa thức hệ số hữu tỉ.
*Chú thích 1:* Với mọi số thực $x$, $\lfloor x \rfloor$ ký hiệu số nguyên lớn nhất không vượt quá $x$.
*Chú thích 2:* Dãy $a_n$ được gọi là *tuần hoàn từ một lúc nào đó* nếu tồn tại các số nguyên dương $n_0$ và $T$ sao cho với mọi số nguyên $n \ge n_0$, ta có $a_{n+T} = a_n$.