Câu hỏi 89
Cho $k$ là một số nguyên không âm và $A$ là một tập hữu hạn khác rỗng. Ta định nghĩa một từ có độ dài $k$ trên bảng chữ cái $A$ là một dãy gồm $k$ phần tử của $A$. (Để ý rằng theo định nghĩa, dãy rỗng là một từ có độ dài $0$.)
* Gọi $B$ là tập tất cả các từ trên bảng chữ cái chín phần tử $\{b, @, l, t, i, c, w, a, y\}$ có độ dài không quá $2023$.
* Ngoài ra, gọi $M$ là tập tất cả các từ trên bảng chữ cái bốn phần tử $\{m, a, t, h\}$ có độ dài không quá $2025$ và chứa phần tử $t$ đúng hai lần.
(Ví dụ, $tata \in M$ vì nó có độ dài $4$ và chứa chữ $t$ hai lần, nhưng $mahatma \notin M$ vì nó chỉ chứa chữ $t$ một lần.)
Chứng minh rằng hiệu $|B| - |M|$ chia hết cho $3^{2023}$.
* Gọi $B$ là tập tất cả các từ trên bảng chữ cái chín phần tử $\{b, @, l, t, i, c, w, a, y\}$ có độ dài không quá $2023$.
* Ngoài ra, gọi $M$ là tập tất cả các từ trên bảng chữ cái bốn phần tử $\{m, a, t, h\}$ có độ dài không quá $2025$ và chứa phần tử $t$ đúng hai lần.
(Ví dụ, $tata \in M$ vì nó có độ dài $4$ và chứa chữ $t$ hai lần, nhưng $mahatma \notin M$ vì nó chỉ chứa chữ $t$ một lần.)
Chứng minh rằng hiệu $|B| - |M|$ chia hết cho $3^{2023}$.