Câu hỏi 73
Với các tập hợp $S$ và $T$ gồm các số thực dương, định nghĩa $S + T = \{s + t \mid s \in S, t \in T\}$ và $\frac{1}{S} = \{\frac{1}{s} \mid s \in S\}$. Định nghĩa các tập hợp $A_1, A_2, A_3, \dots$ theo quy nạp bởi $A_1 = \{1\}$ và
$$
A_n = \bigcup_{i=1}^{n-1} \left( (A_i + A_{n-i}) \cup \left( \frac{1}{\frac{1}{A_i} + \frac{1}{A_{n-i}}} \right) \right)
$$
với mọi số nguyên $n \ge 2$. Chứng minh rằng với mọi số nguyên $n \ge 1$ ta có
$$
2^{n-1} \le |A_n| \le 8^n.
$$
$$
A_n = \bigcup_{i=1}^{n-1} \left( (A_i + A_{n-i}) \cup \left( \frac{1}{\frac{1}{A_i} + \frac{1}{A_{n-i}}} \right) \right)
$$
với mọi số nguyên $n \ge 2$. Chứng minh rằng với mọi số nguyên $n \ge 1$ ta có
$$
2^{n-1} \le |A_n| \le 8^n.
$$