Câu hỏi 150
Ba đường tròn $\Gamma_{1}$, $\Gamma_{2}$, $\Gamma_{3}$ đôi một tiếp xúc ngoài, trong đó $\Gamma_{1}$ là đường tròn nhỏ nhất có bán kính $1$, và $\Gamma_{3}$ là đường tròn lớn nhất có bán kính $25$. Gọi $A$ là tiếp điểm của $\Gamma_{1}$ và $\Gamma_{2}$, $B$ là tiếp điểm của $\Gamma_{2}$ và $\Gamma_{3}$, và $C$ là tiếp điểm của $\Gamma_{1}$ và $\Gamma_{3}$. Giả sử tam giác $ABC$ cũng có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng $1$. Khi đó bán kính của $\Gamma_{2}$ có thể viết dưới dạng $p/q$, trong đó $p$ và $q$ là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau. Tìm giá trị của tích $pq$.