Câu hỏi 117
Cho $f: \mathbb{N} \to \mathbb{N}_0$ là một hàm khác hàm không, từ tập các số nguyên dương vào tập các số nguyên không âm, sao cho với mọi $a, b \in \mathbb{N}$ ta có
$$
2f(ab) = (b+1)f(a) + (a+1)f(b).
$$
Chứng minh rằng với mọi số nguyên tố $p$, tồn tại số nguyên tố $q$, các số nguyên dương $x_1, \dots, x_n$ và số nguyên không âm $m$ sao cho
$$
\frac{f(q^p)}{f(q)} = (px_1 + 1) \cdots (px_n + 1) \cdot p^m,
$$
trong đó tất cả các số $px_1 + 1, \dots, px_n + 1$ đều là số nguyên tố.
$$
2f(ab) = (b+1)f(a) + (a+1)f(b).
$$
Chứng minh rằng với mọi số nguyên tố $p$, tồn tại số nguyên tố $q$, các số nguyên dương $x_1, \dots, x_n$ và số nguyên không âm $m$ sao cho
$$
\frac{f(q^p)}{f(q)} = (px_1 + 1) \cdots (px_n + 1) \cdot p^m,
$$
trong đó tất cả các số $px_1 + 1, \dots, px_n + 1$ đều là số nguyên tố.