Câu hỏi 98
Cho $n \geq 3$ là một số tự nhiên cố định. Có $n$ hộp $A_{1}, A_{2}, \ldots, A_{n}$, mỗi hộp chứa một số viên sỏi $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}$ sao cho $a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}=3 n$. Một nước đi gồm các thao tác sau:
chọn một hộp và chia tất cả sỏi trong hộp đó vào $n$ hộp (kể cả hộp được chọn) sao cho với hai hộp bất kỳ, số sỏi được thêm vào chênh lệch nhau không quá 1.
Với một cách phân bố $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}$, ta định nghĩa $f\left(a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}\right)$ là số nước đi ít nhất cần thiết để dồn tất cả sỏi vào một hộp. Gọi $M_{n}$ là giá trị lớn nhất của $f\left(a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}\right)$ trên mọi cách phân bố $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}$ với $a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}=3 n$. Xác định $M_{n}$ và tất cả các cách phân bố $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}$ sao cho $f\left(a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}\right)=M_{n}$.
Ví dụ. Nếu $n=4$ và các hộp chứa 2, 6, 0, 4 viên sỏi, thì ta có thể chia 2 viên sỏi từ hộp $A_{1}$ thành 1,0,1,0. Sau nước đi này số sỏi trong các hộp là 1, 6, 1, 4.
chọn một hộp và chia tất cả sỏi trong hộp đó vào $n$ hộp (kể cả hộp được chọn) sao cho với hai hộp bất kỳ, số sỏi được thêm vào chênh lệch nhau không quá 1.
Với một cách phân bố $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}$, ta định nghĩa $f\left(a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}\right)$ là số nước đi ít nhất cần thiết để dồn tất cả sỏi vào một hộp. Gọi $M_{n}$ là giá trị lớn nhất của $f\left(a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}\right)$ trên mọi cách phân bố $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}$ với $a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}=3 n$. Xác định $M_{n}$ và tất cả các cách phân bố $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}$ sao cho $f\left(a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}\right)=M_{n}$.
Ví dụ. Nếu $n=4$ và các hộp chứa 2, 6, 0, 4 viên sỏi, thì ta có thể chia 2 viên sỏi từ hộp $A_{1}$ thành 1,0,1,0. Sau nước đi này số sỏi trong các hộp là 1, 6, 1, 4.