Câu hỏi 87
Cho $n \ge 3$ là một số nguyên dương cố định. Có $n$ hộp $A_1, A_2, \dots, A_n$, mỗi hộp chứa một số viên sỏi $(a_1, a_2, \dots, a_n)$ sao cho $a_1+a_2+\cdots+a_n = 3n$. Một nước đi gồm các thao tác sau:
chọn một hộp và chia tất cả số sỏi trong hộp đó vào $n$ hộp (kể cả hộp vừa chọn) sao cho với hai hộp bất kỳ, số sỏi được thêm vào hai hộp đó chênh lệch nhau không quá 1.
Với một cách phân bố $a_1, a_2, \dots, a_n$, ta định nghĩa $f(a_1, a_2, \dots, a_n)$ là số nước đi ít nhất cần thiết để dồn tất cả sỏi vào một hộp. Gọi $M_n$ là giá trị lớn nhất của $f(a_1, a_2, \dots, a_n)$ trên mọi cách phân bố $a_1, a_2, \dots, a_n$ với $a_1 + a_2 + \cdots + a_n = 3n$. Xác định $M_n$ và tất cả các cách phân bố $a_1, a_2, \dots, a_n$ sao cho $f(a_1, a_2, \dots, a_n) = M_n$.
*Ví dụ.* Nếu $n = 4$ và các hộp lần lượt chứa 2, 6, 0, 4 viên sỏi, thì ta có thể chia 2 viên sỏi từ hộp $A_1$ bằng cách lần lượt bỏ vào các hộp 1, 0, 1, 0 viên. Sau nước đi này, số sỏi trong các hộp lần lượt là 1, 6, 1, 4.
chọn một hộp và chia tất cả số sỏi trong hộp đó vào $n$ hộp (kể cả hộp vừa chọn) sao cho với hai hộp bất kỳ, số sỏi được thêm vào hai hộp đó chênh lệch nhau không quá 1.
Với một cách phân bố $a_1, a_2, \dots, a_n$, ta định nghĩa $f(a_1, a_2, \dots, a_n)$ là số nước đi ít nhất cần thiết để dồn tất cả sỏi vào một hộp. Gọi $M_n$ là giá trị lớn nhất của $f(a_1, a_2, \dots, a_n)$ trên mọi cách phân bố $a_1, a_2, \dots, a_n$ với $a_1 + a_2 + \cdots + a_n = 3n$. Xác định $M_n$ và tất cả các cách phân bố $a_1, a_2, \dots, a_n$ sao cho $f(a_1, a_2, \dots, a_n) = M_n$.
*Ví dụ.* Nếu $n = 4$ và các hộp lần lượt chứa 2, 6, 0, 4 viên sỏi, thì ta có thể chia 2 viên sỏi từ hộp $A_1$ bằng cách lần lượt bỏ vào các hộp 1, 0, 1, 0 viên. Sau nước đi này, số sỏi trong các hộp lần lượt là 1, 6, 1, 4.